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title: 代入排除法
description: 代入排除法是一种通过代入已知答案来验证是否符合题干条件的方法。
keywords: 代入排除法, 数学, 解题技巧, 数字推理, 公考，数量关系
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import BlurredAnswer from '@/components/ui/BlurredAnswer';






## 1. 技巧

### 1.1 问最大/小，从最大/小开始代入计算

**题目**  
四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30岁，
四人年龄之乘积能被2700整除且不能被81整除。则四人中最年长者多少岁？   
- A. 30  
- B. 29  
- C. 28  
- D. 27 

**解析**  
<BlurredAnswer>
年龄问题，代入排除法。求最年长者，优先代入选项最大值：   
A 选项：30×29×28×27，尾数只有一个0，不能被2700整除；   
B 选项：29×28×27×26，尾数不为0，不能被2700整除；   
C 选项：28×27×26×25=（4×7）×27×26×25，能被2700整除，不能被81整除，正确。
</BlurredAnswer>

### 1.2 适用范围

#### 1.2.1 年龄问题 
**例1** 四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30岁，
四人年龄之乘积能被2700整除且不能被81整除。则四人中最年长者多少
岁？

**解析**
同上。

**例2** 已知张先生的童年占去了他年龄的 $\frac{1}{14}$ ，再过了他年龄的 $\frac{1}{7}$
他进入成年，又过了 $\frac{1}{6}$ 他结婚了，婚后 $3$ 年他的儿子出生了，儿子 $7$ 岁时，
他们的年龄和为某个素数的平方，则张先生结婚时的年龄是：
- A. 38 岁       
- B. 32 岁 
- C. 28 岁       
- D. 42 岁

**解析**
<BlurredAnswer>
年龄问题，代入排除法。设张先生结婚时年龄为x，则儿子7岁时  
张先生年龄为x＋3＋7，即x＋10。根据他们的年龄和为某个素数的平方，可  
得x＋10＋7是一个素数的平方。   
代入A：38＋10＋7=55，排除；   
代入B，32＋10＋7=49=7²，符合；   
代入C，28＋10＋7=45，排除；   
代入D，42＋10＋7=59，排除。B   
</BlurredAnswer>

**例2** 小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁？ 
- A. 25、32 
- B. 27、30 
- C. 30、27 
- D. 32、25

**解析**
<BlurredAnswer>
方法1：年龄问题，代入排除。根据“小王的哥哥比小王大2岁，比小李大5岁”可得，
小王比小李大3岁，结合选项，只有B满足。   

方法2：方程法。由“小王比小李大3岁”“小李弟弟比小李小2岁”，可得
小王比小李的弟弟大5岁。设1994年小王年龄为x，小李的弟弟为y，可得
方程组：x＋y=15，x－y=5，解得x=10，y=5。故2014年小王10＋20=30岁，
小李为30－3=27岁。B 
</BlurredAnswer>


#### 1.2.2 余数问题

**例**
有一些信件，把它们平均分成三份后还剩2封，将其中两
份平均三等分还多出2封，问这些信件至少有多少封？
- A. 20      
- B. 26 
- C. 23      
- D. 29

**解析**

<BlurredAnswer>
代入排除法。求至少有多少，选项从小到大依次代入：  
代入A：20÷3=6…2，2×6÷3=4，不满足多出2封，排除;  
代入C：23÷3=7…2，2×7÷3=4…2，满足题意。  
</BlurredAnswer>


**例**
一堆桃子旁边住着5只猴子。深夜，第一只猴子起来偷吃
了一个，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡觉。过了
一会儿，第二只猴子起来也偷吃了一个，剩下的也正好平均分成5份，它也
藏起自己的一份，然后去睡觉，第三、四、五只猴子也都依次这样做。问那
堆桃子最少有多少个？ 
- A. 4520 
- B. 3842 
- C. 3121 
- D. 2101 

**解析**

<BlurredAnswer>
代入排除。第一只猴子偷吃1个，剩下可平均分成5份，可知桃
子总数－1能被5整除，排除AB。 
求最少，先代入D，偷吃1个后剩2101－1=2100；平分成5份且藏起1
份剩2100× =1680；再偷吃1个剩1679，不能被5整除，排除。C。
</BlurredAnswer>


#### 1.2.3 多位数问题
**例**
办公室小张新买了一辆汽车，车牌号除了汉
字和字母外有四位不含零的号码，号码的千位数比个位数大 2，百位数比十
位数大。如果把号码从右向左读出的数值加上原来的号码数，正好等于 
16456。问此号码的千、百位数各是多少？

- A. 9、3       
- B. 8、4  
- C. 7、5       
- D. 6、6

**解析**
<BlurredAnswer>
代入排除法。号码从右向左读数加上原来号码数等于16456，即个  
位 千位尾数为6。由“千位数比个位数大2”，将选项代入验证。   
代入A，千位数为9，则个位数， ，尾数6，保留；   
代入B，千位数为8，则个位数， ，尾数不为6；代入  
C，千位数为7，则个位数， ，尾数不为6；    
代入D，千位为6，则个位， ，尾数不为6。A。  
</BlurredAnswer>

**例**
将一个三位数的个位数字和百位数字调换后所得的三位数
与原三位数的和是1070，差是198，这个三位数是：  
- A. 218 
- B. 327 
- C. 436 
- D. 524 

**解析**
<BlurredAnswer>
方法1：多位数问题，用方程法解题。设这个三位数为x，调换后
的三位数为y，根据和是1070可得x＋y=1070，根据差是198可得y
x=198，解得x=436。C。  
方法2：代入排除法。根据和是1070，可得这个三位数的百位数与个位数之
和的尾数为0，排除D选项；根据差是198，可得百位数与个位数之差的尾数
为8，排除AB。C。  
</BlurredAnswer>

#### 1.2.4 不定方程
**例**
在公司年会表演中，有甲、乙、丙、丁四个部门的员工参
演，已知甲乙两个部门共有16名员工参演，乙丙两部门共有20名员工参
演，丙丁两部门共有34名员工参演，且各部门参演人数从少到多顺序为：甲
＜乙＜丙＜丁。由此可知丁部门有（ ）人参演。

- A. 9、3       
- B. 8、4  
- C. 7、5       
- D. 6、6

**解析**
<BlurredAnswer>
方法1：不等式，代入排除法。甲＋乙=16，乙＋丙=20，丙＋丁=34；丙＜丁，则丁＞17，排除A。     
代入B，若丁=20，则丙=34－20=14，乙=20－14=6，甲=16－6=10，甲＞乙，不符合；   
代入C，若丁=23，则丙=34－23=11，乙=20－11=9，甲=16－9=7，甲＜乙＜丙＜丁，符合。C。  

方法2：根据范围确定数值。甲＋乙=16，甲＜乙，则乙＞8；由乙＋丙 =20，乙＜丙，则乙＜10。故乙=9，则丙=11，丁=34－11=23。C。   
</BlurredAnswer>